Häsch di scho mal gfröget, werum gwüssi Zahle i de Mathematik e so e bsunderi Rolle spieled und anderi nöd? Mathe isch für vili i de Schuel villicht eher es trochnigs Thema gsi, wo mer froh gsi isch, wänns verbi isch. Aber bi de Primzahle lohnt es sich würkli, chli gnauer häre z’luege. Si sind nöd nur eifach irgendwelchi Zahle, sondern si bildet s’Fundamänt vo eusem gsamte Zahlesystem. Ohni si würd eusi hütigi Welt, so wie mir si känned, gar nöd funktioniere. Dänked mer nur mal a s’Internet, Online-Banking oder d’Kommunikation über WhatsApp – all das basiert im Hintergrund uf de Eigeschafte vo genau däne Zahle. Es isch faszinierend, dass es Konzept, wo scho di alte Grieche vor über 2000 Jahre entdeckt händ, hüt de Schlüssel für eusi moderni digitali Sicherheit isch. I däm Artikel tauched mir tüüf i d’Welt vo de Primzahle ii, lueged a, was si genau sind, wie mer si findet und werum si ebe viel meh sind als nur e mathematischi Spielerei.
Was isch eigentlich genau e Primzahl?
Fanged mer ganz vorne a bi de Definition, damit mir alli vom Gliche reded. E Primzahl isch e natürlichi Zahl, wo grösser isch als 1 und wo nur dur sich sälber und dur 1 teilbar isch, ohni dass es en Rest git. Das tönt jetzt villicht chli abstrakt, drum lueged mir eus das amene Biispiel a.
Nähmed mer d’Zahl 5. Durch weli Zahle chamer 5 teile? Eigentlich nur dur 1 (dänn git’s 5) und dur 5 (dänn git’s 1). Wänn mer probiert, 5 dur 2 z’teile, git’s 2.5, also kei ganzi Zahl. Drum isch 5 e Primzahl. Nähmed mer im Verglich d’Zahl 6. Die chamer dur 1 und 6 teile, aber au dur 2 (git 3) und dur 3 (git 2). Will d’Zahl 6 also meh Teiler hät als nur 1 und sich sälber, isch si kei Primzahl. Solchi Zahle nännt mer dänn «zämmegsetzti Zahle».
Di erschte Primzahle
Wänn mer d’Reihe vo de natürliche Zahle durgaht, gseht de Anfang vo de Primzahle-Liste so aus:
- 2 (die einzigi gradi Primzahl!)
- 3
- 5
- 7
- 11
- 13
- 17
- 19
- 23
Es fallt uuf, dass d’Zahl 2 e bsunderi Stellig hät. Si isch di chlinsti Primzahl und glichziitig die einzigi, wo grad isch. Alli andere grade Zahle (4, 6, 8, 10…) lönd sich ja dur 2 teile und scheided drum sofort us. Das heisst im Umkehrschluss: Alli Primzahle ab 3 sind ungrad. Aber Vorsicht: Nöd jedi ungradi Zahl isch e Primzahl! D’Zahl 9 zum Biispiel isch ungrad, aber dur 3 teilbar. Oder d’Zahl 15 isch dur 3 und 5 teilbar.
D’Atome vo de Mathematik
Werum säged Mathematiker oft, dass Primzahle d’Bausteine oder d’Atome vo de Zahlewelt sind? Das liit am sogenannte Fundamentalsatz vo de Arithmetik. Dä Satz seit us, dass jedi natürlichi Zahl (grösser als 1) entweder sälber e Primzahl isch oder sich als es Produkt vo Primzahle schribe laat. Und das Wichtigste debi isch: Die Zerlegig isch eidütig.
Lueged mer eus das a paar Biispiel aa:
- 12 isch kei Primzahl. Mer chan si zerlege i $2 \times 6$. Aber 6 isch au nonig fertig, das isch $2 \times 3$. Also isch $12 = 2 \times 2 \times 3$.
- 30 chan zerleit werde i $2 \times 15$, und 15 isch $3 \times 5$. Also isch $30 = 2 \times 3 \times 5$.
- 100 isch $10 \times 10$, was wiederum $2 \times 5 \times 2 \times 5$ isch.
Egal wie mer d’Rechnig aafangt, am Schluss chunnt mer immer bi de gliche Primzahle use. Das isch wie i de Chemie: Jedes Molekül bestaht us Atome. I de Mathematik isch jedi Zahl us Primzahle zämmebaut. Das macht si so fundamental wichtig für s’Verständnis vo eusem Zahlesystem.
S’Sib vom Eratosthenes: Wie findet mer Primzahle?
Schon i de Antike händ sich d’Lüüt gfröget, wie mer die Zahle am beschte findet. Einer vo de bekanntischte Algorithme isch s’sogenannte Sib vom Eratosthenes. De griechischi Mathematiker Eratosthenes hät im 3. Jahrhundert vor Christus e geniali Methode entwicklet, um Primzahle uszusiebe.
Stell der vor, du schribsch alli Zahle vo 1 bis 100 uf es Blatt Papier. Jetzt gasch du wie folgt vor:
- Du striechsch d’Zahl 1 dure (will si kei Primzahl isch).
- Du chreisish d’Zahl 2 ii (di erschti Primzahl). Dänn striechsch alli Vielfache vo 2 dure (4, 6, 8, 10…), will die sicher keini Primzahle sind.
- Di nächsti Zahl, wo no nöd duregstriche isch, isch d’3. Du chreisish si ii und striechsch alli Vielfache vo 3 dure (6, 9, 12…), wo nöd scho wäg sind.
- Di nächsti offni Zahl isch d’5. Iichreise und alli Vielfache (10, 15, 20…) durestriche.
Wänn du das bis zum Schluss machsch, bliibed nur no d’Primzahle übrig. Das Verfahre isch extrem effizient für chlineri Zahleruum. Für riesigi Zahle brucht mer hüt natürlich Computer und viel komplexeri Formle, aber s’Prinzip vom Uussortiere isch d’Basis vo allem.
Verschlüsselig: Werum Primzahle dini Date schützed
Jetzt chömed mer zum wohl wichtigschte Punkt für euses hütige Läbe: D’Kryptographie. Wänn du im Internet mit ere Kreditcharte zahlsch, en E-Banking-Login machsch oder en sicheri E-Mail verschicksch, dänn sind Primzahle im Iisatz. Aber wie funktioniert das genau?
S’meischtverbreitete Verfahre heisst RSA-Verschlüsselig. De Trick debi berueht uf ere Eigeschaft, wo mer «Einwegfunktion» nännt. Es isch für en Computer extrem eifach, zwei riesigi Primzahle mitenand z’multipliziere. Wänn ich der zwei 100-stelligi Primzahle gib und säg «rechni mal s’Produkt aus», macht das din Laptop i Bruch teile vonere Sekunde.
Aber – und das isch s’grossi Aber – wänn ich der nur s’Ergebnis vo däre Multiplikation gib (also e riesigi Zahl mit 200 Stelle) und säg: «Find use, weli zwei Primzahle ich gno han», dänn bisse sich sogar di stärchschte Supercomputer d’Zäh dra us. Das nännt mer Primfaktorzerlegig oder Faktorisierig.
De öffentich und de privati Schlüssel
Bi de RSA-Verschlüsselig nutzt mer genau die Tatsach:
- S’Produkt vo de zwei Primzahle isch Teil vom «öffentliche Schlüssel». Damit chan jeder dir e verschlüssleti Nachricht schicke.
- Die zwei ursprüngliche Primzahle, wo s’Produkt bildet händ, sind din «private Schlüssel». Nur wer die kännt, chan d’Nachricht wieder entschlüssle.
Will niemert i nützlicher Frist us em öffentliche Schlüssel die zwei Primzahle errechne chan, bliibt dini Nachricht sicher. Wäred Primzahle eifach z’zerlege, würd s’ganze globale Finanzsystem und eusi digitali Sicherheit vo hüt uf morn zämmebreche. Drum forschet Mathematiker und Gheimdienscht intensiv a däm Thema.
Primzahle i de Natur: D’Zikade
Es isch nöd nur e Erfindig vo de Mänsche. D’Natur nutzt Primzahle uf verblüffendi Wiis. Es git e Art vo Zikade (Insekte) i Nordamerika, wo «Periodischi Zikade» heissed. Die Tierli läbed di meisti Ziit unter de Erde und chömed nur alli paar Jahr use, um sich z’paare.
Und jetzt chunnt s’Spannende: Die Zyklen sind fascht immer 13 oder 17 Jahr lang. Beides sind Primzahle. Biologe vermueteth, dass das en evolutionäre Vorteil isch. Wänn d’Zikade zum Biispiel en Zyklus vo 12 Jahre hettet, dänn würed si hüüfig uf Fressfeinde treffe, wo en Zyklus vo 2, 3, 4 oder 6 Jahre händ. Dur d’Wahl vonere Primzahl minimiered si d’Wahrschinlichkeit, dass ihr Uftauche mit em Uftauche vonere Räuber-Population synchronisiert isch. Das sichert s’Überlebe vo de Art.
Gibt es e gröschti Primzahl?
D’Antwort isch: Nei. De Euklid hät scho vor über 2000 Jahre bewise, dass es unendlich vili Primzahle git. De Bewiis isch wunderbar elegant. Er hät gseit: Nähmed mer a, es gäb e gröschti Primzahl. Dänn multipliziered mer alli Primzahle bis dethi mitenand und zelle 1 dezue. Die neu Zahl isch dänn weder dur 2, no dur 3, no dur suscht e Primzahl us euserer Liste teilbar – es bliibt immer de Rest 1. Also mues die neu Zahl entweder sälber e Primzahl sii oder si hät en Primteiler, wo grösser isch als eusi aagnogni «gröschti» Primzahl. In beide Fäll simmer im Widerspruch.
Trotzdem sueched Lüüt wältwit nach immer grössere bekannte Primzahle. Das sind meistens sogenannti Mersenne-Primzahle. Die händ d’Form $2^p – 1$. Di aktuell gröschten bekannten Primzahle händ Millione vo Stelle und wärded dur verteilte Rechennetzwärk gfunde.
Häufig gstellti Frage (FAQ)
Immer wieder tauched im Zämmehang mit Primzahle die gliche Frage uf. Hier händ mir di wichtigschte churz und bündig für dich zämmegfasst.
Isch 1 e Primzahl?
Nei, 1 giltet hüt nöd als Primzahl. Früener hät mer das teilwiis anders gseh, aber hüt isch d’Definition klar: E Primzahl mues genau zwei Teiler ha (1 und sich sälber). D’Zahl 1 hät aber nur ein Teiler (nämlich 1). Usserdem würd d’Eidütigkeit vo de Primfaktorzerlegig nümme stimme, wänn 1 e Primzahl wär (mer chönnt dänn beliebig oft «… mal 1» anehänke).
Werum isch 2 di einzig gradi Primzahl?
Ganz eifach: Jedi gradi Zahl isch per Definition dur 2 teilbar. Da e Primzahl (usert 2 sälber) aber nur dur 1 und sich sälber teilbar sii darf, scheided alli andere grade Zahle wie 4, 6, 8 usw. sofort us, will si 2 als Teiler händ.
Was isch e Primzahl-Zwilling?
Primzahl-Zwillinge sind zwei Primzahle, wo ganz nöch beienand liged, nämlich mit eme Abstand vo 2. Biispiel sind (3, 5), (5, 7), (11, 13) oder (17, 19). Es isch bis hüt unbewise, öb es unendlich vili solchi Pärli git, au wänn d’Mathematiker schwer devoo uusgönd.
Gibt es e Formle, wo alli Primzahle berechnet?
Nei, es git bis hüt kei eifachi Formle, wo mer chan «n» iisetze und dänn chunt di «n-ti» Primzahl use. D’Verteilig vo de Primzahle wirkt uf de erste Blick chaotisch, folgt aber bi sehr grosse Zahle statistische Gsetz (Primzahlsatz). Aber e exakti «Produktionsformle» isch de «Heilige Gral» vo de Zahlentheorie und isch nonig gfunde worde.
Mitrechnen bi de Suechi nach de Riese
Vielleicht häsch du jetzt Lust übercho, sälber en Teil vo de Gschicht vo de Primzahle z’werde. Es git Projekt wie GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Det chasch du diin Computer dihei zur Verfüegig stelle, wänn du en grad nöd bruchsch. Er rechnet dänn im Hintergrund und suechet nach de nächschte gigantische Mersenne-Primzahl. Es isch e Art Lotto: D’Chance isch chli, aber wänn din Computer di richtig Zahl findet, wirsch du i de Mathematik-Büecher verewigt. D’Faszination vo de Zahle, wo nur dur 1 und sich sälber teilbar sind, gaht also wiiter und verbindet hüt Hobby-Tüftler, Mathematiker und Hochleistungscomputer uf de ganze Welt.
