Primzahle: Was si sind und werum si so wichtig sind

Vellecht magsch dich no a dini Schuelziit erinnere, wo d’Lehrerin oder de Lehrer plötzlich vo dene mysteriöse Zahle gredt hät, wo mer nume dur Eis und sich sälber teile chan. Für die meiste isch das damals eifach e wiiteri abstrakte Üebig gsi, wo mer halt hät müese lerne. Aber d’Wahrheit isch: Primzahle sind nöd eifach nur e Spielerei für Mathematiker. Ohni sie würd üsi hütigi, digitali Wält gar nöd funktioniere. Jedes Mal, wänn du mit dinere Charte im Lade zahlsch, e Nachricht uf WhatsApp verschicksch oder dich is Online-Banking iiloggsch, schaffed im Hintergrund riesigi Primzahle, um dini Date z’schütze. Sie sind sozäge d’Bausteine, d’Atom vo de ganze Mathematik, und si verhalted sich oft so unvorhersehbar, dass si sälbscht die gröschte Genies sit Jahrhunderte zur Verzweiflig bringed. I däm Artikel tauchemer tüüf ii i d’Wält vo dene bsundere Zahle und lueged a, werum si e so e riesigi Macht über üses Läbe händ.

Was isch eigentlich genau e Primzahl?

Bevor mir verstönd, werum die Zahle so wichtig sind, müemmer zerscht mal ganz genau luege, was e Primzahl überhaupt isch. D’Definition isch eigentlich zimli simpel, aber d’Konsequenze devoo sind riesig. E Primzahl isch e natürlichi Zahl, wo grösser isch als 1 und wo genau zwei Teiler hät: d’Zahl 1 und sich sälber. Das tönt jetzt villicht chli troche, drum machemer es paar Biispiil.

Nähmer d’Zahl 5. Du chasch 5 dur 1 teile (git 5) und dur 5 teile (git 1). Wenn du aber probiersch, 5 dur 2 oder 3 z’teile, chunt nie e ganzi Zahl debii use. Also isch 5 e Primzahl. Nähmer degäge d’Zahl 6. Die chasch dur 1 und 6 teile, klar. Aber du chasch si au dur 2 teile (git 3) und dur 3 teile (git 2). Will si also no anderi Teiler hät, isch d’Zahl 6 kei Primzahl. Söttigi Zahle nännt mer dänn zämegsetzti Zahle.

Hie isch e chlini Lischte vo de erschte paar Primzahle, damit du es Gfühl defür überchunsch:

2 (die einzigi gradi Primzahl!)
3
5
7
11
13
17
19
23

Es git eifachi Regele, wie mer gseht, öb e Zahl KEI Primzahl isch. Zum Biispiil isch jedi Zahl, wo uf 0, 2, 4, 6 oder 8 ändet (usser d’2 sälber), dur 2 teilbar und drum kei Primzahl. Jedi Zahl, wo uf 5 ändet (usser d’5 sälber), isch dur 5 teilbar und drum au dusse. Das macht d’Suechi nach Primzahle am Afang eifach, aber je grösser d’Zahle werded, desto schwieriger wird’s.

Werum ghört d’Zahl 1 nöd dezue?

Das isch e Frag, wo sehr oft gstellt wird und wo mängisch sogar Lüt verwirrt, wo gern rächned. Früehner hät mer d’Zahl 1 tatsächlich oft zu de Primzahle zellt. Hüt macht mer das aber i de Mathematik nüme, und zwar us eme guete Grund. Wänn d’1 e Primzahl wär, dänn würded villi wichtigi mathematischi Gsetz nüme eifach und schön funktioniere.

S’wichtigste Gsetz isch de sogenannti Fundamentalsatz vo de Arithmetik. Dä bseit, dass mer jedi Zahl (wo grösser isch als 1) uf e eindütigi Art in Primzahle zerlege chan. Nähmer d’Zahl 12. D’Zerlegig isch: 2 × 2 × 3. Es git kei anderi Kombination vo Primzahle, wo 12 git (abgseh vo de Reihefolg). Wänn jetzt aber d’1 au e Primzahl wär, dänn chönnt mer schriibe: 1 × 2 × 2 × 3, oder 1 × 1 × 2 × 2 × 3, oder sogar 1 × 1 × 1 × 1… und so wiiter. D’Eindütigkeit wär weg. Damit d’Mathematik suuber bliibt, hät mer sich geinigt: D’1 isch kei Primzahl.

Primzahle als d’Bausteine vo de Mathematik

Mer chan sich Primzahle chli vorstelle wie d’Element im Periodesystem i de Chemie. Jedes Molekül bestaht us Atom. Genauso bestaht jedi Zahl i de Mathematik us Primzahle. Wänn du d’Zahl 60 nimmsch, chasch si so lang teile, bis nur no Primzahle übrig bliibed:

60 isch 6 × 10.
6 isch 2 × 3 (beides Primzahle).
10 isch 2 × 5 (beides Primzahle).
Also isch 60 zämegsetzt us: 2 × 2 × 3 × 5.

Egal wie du afangsch (z.B. 60 = 4 × 15), am Schluss landisch immer bi de gliche Primfaktore (2, 2, 3, 5). Das isch das, was Primzahle so fundamental macht. Ohni sie hätted mir kei Ordnig im Zahlesystem. Sie sind das Fundament, uf dem alles andere ufbaut isch. Das Verschtändnis isch d’Basis für alles, was mir hüt mit Computer und Verschlüsselig mached.

D’Magie vo de Verschlüsselig: RSA und dim E-Banking

Jetzt chumemer zum Punkt, wo für üses moderne Läbe am wichtigste isch. Werum sind Primzahle für d’Sicherheit im Internet unverzichtbar? Das liit a ere bsundere Eigeschaft: Es isch extrem eifach, zwei Primzahle mitenand z’multipliziere, aber es isch extrem schwierig, s’Resultat wider i die ursprüngliche Primzahle z’zerlege.

Stell der vor, ich gibe der zwei Primzahle: 17 und 23. Wänn ich dich bit, die mal z’näh (17 × 23), dänn chasch du das schnell im Chopf oder mit em Täscherechner mache und seisch: «Das git 391». Eifach.

Aber wänn ich der d’Zahl 391 gibe und säge: «Finde use, weli zwei Primzahle ich mal gno han», dänn muesch du afange probiere. Bi chline Zahle gaht das no. Aber i de Verschlüsselig (wie bim RSA-Verfahre) werded Primzahle verwendet, wo hunderti vo Stelle händ. Wänn du zwei söttigi Riesezahle mal nimmsch, chunt e gigantischi Zahl use. Wänn en Hacker die gigantischi Zahl gseht, hät er kei Chance, usezfinde, us wele zwei Primzahle sie entstanden isch. Sälbscht die schnellschte Supercomputer vo de Wält würded Millione vo Jahre bruuche, um die «Primfaktore» z’finde.

Dini Bank nutzte das Prinzip. Dini Date werded mit ere riesige Zahl (em «Public Key») verschlüsslet. Zum Entschlüssle bruucht mer aber die zwei ursprüngliche Primzahle (de «Private Key»), und die kännt nur d’Bank. Will niemer suscht die Zerlegig berechne chan, bliibed dini Date sicher. Wänn öpper e schnelli Methode würd finde, um grossi Zahle i Primfaktore z’zerlege, dänn wär üses gsamte digitale Sicherheitssystem vo hüt uf morn wertlos.

Primzahle i de Natur: S’Geheimnis vo de Zikade

Nöd nur Computer, au d’Natur hät d’Macht vo de Primzahle entdeckt. Es git e Insekteart in Nordamerika, die sogenante Periodische Zikade. Die Tierli läbed di meisti Ziit als Larve im Bode und chömed nur ali par Jahr use, um sich z’paare. Interessanterwiis chömed gwüssi Arte genau alli 13 Jahr use, anderi alli 17 Jahr.

Werum usgrechnet 13 und 17? Beides sind Primzahle. D’Biologe vermueted, dass das e Strategie isch, um Fressfind uswiiche. Wänn d’Zikade zum Biispiil alli 12 Jahr würded usecho, dänn chönnt e Räuber, wo en Zyklus vo 2, 3, 4 oder 6 Jahr hät, sich perfekt druf iistelle und jedes Mal parat stah, wänn d’Zikade schlüpfed. Bi 13 oder 17 Jahr isch d’Wahrscheinlichkeit viel chliiner, dass de Zyklus vomene Räuber und de Zyklus vo de Zikade synchron laufed. So überläbt d’Art sit Jahrtusige dank ere mathematische Raffinesse.

De Sib vom Eratosthenes

Scho die alte Grieche händ sich mit Primzahle beschäftigt. Eine vo de bekanntischte Methode, um Primzahle z’finde, stammt vom Eratosthenes, wo im 3. Jahrhundert vor Chrischtus gläbt hät. Sii Methode nennt mer de Sib vom Eratosthenes. Es isch e genial eifachi Art, alli Primzahle bis zu ere gwüsse Gränze z’finde, ohni dass mer komplizierti Divisione mache mues.

So funktioniert’s:

Du schriibsch alli Zahle uf, z.B. vo 2 bis 100.
Du chreisish d’2 ii (das isch die erschti Primzahl). Dänn striichsch alli Vielfache vo 2 dure (4, 6, 8, …).
Die nächschti Zahl, wo no nöd duregstriche isch, isch d’3. Du chreisish si ii und striichsch alli Vielfache vo 3 dure (6, 9, 12, …).
Die nächschti isch d’5. Iichreise, Vielfachi striiche.

Wänn du das wiiter machsch, bliibed am Schluss nur no d’Primzahle übrig. Es isch wie wänn du Sand dur e Sib schüttisch und nur die grobe Stei (Primzahle) bliibed hangen. Das Verfahre lernt mer hüt no i de Schuel, will’s so bildlich zeigt, wie d’Primzahle verteilt sind.

Hüfig gstellti Frage (FAQ)

Gits e gröschti Primzahl?

Nei, es git kei gröschti Primzahl. Das hät de Griech Euklid scho vor über 2000 Jahre bewise. Wänn du dänksch, du heigsch die gröschti gfunde, chasch du immer e no grösseri konstruiere. D’Reihe vo de Primzahle isch unendlich.

Isch d’2 die einzigi gradi Primzahl?

Ja, absolut. Jedi anderi gradi Zahl isch ja dur 2 teilbar und hät drum nebet 1 und sich sälber mindeschtens no de Teiler 2. Drum chan si kei Primzahl sii. D’2 isch en absolute Sonderfall, oft au scherzhaft «die gwöhnlichschti» vo de Primzahle gnennt.

Was sind Primzahlzwilling?

Primzahlzwilling sind zwei Primzahle, wo ganz nöch binand liged, nämli mit eme Abstand vo 2. Biispiil sind (3, 5), (11, 13) oder (17, 19). Bi chline Zahle chunt das oft vor. Ob es aber unendlich villi söttigi Päärli git, weiss bis hüt niemer sicher. Das isch eis vo de grosse unglöste Rätsel.

Wie vil Gäld chan mer mit Primzahle verdiene?

Tatsächlich gits Priise für s’Finde vo neue, extrem grosse Primzahle. S’Projekt GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) bietet Geldpriise für s’Entdecke vo Primzahle mit über 100 Millione Stelle. Aber riich wird mer demit chum, will d’Stromchöschte für d’Computer meistens höcher sind als s’Priisgeld.

Unglösti Rätsel und d’Jagd nach de Gigante

Obwohl mir hüt Supercomputer händ, isch d’Wält vo de Primzahle no voller Geheimnis. Es git Vermuetige, wie zum Biispiil d’Goldbach-Vermuetig, wo bseit, dass mer jedi gradi Zahl (grösser als 2) als Summe vo zwei Primzahle schriibe chan (z.B. 10 = 3 + 7). Das funktioniert für alli Zahle, wo mir je teschtet händ, aber e mathematische Bewiis, dass es immer so isch, fählt bis hüt. Mathematiker uf de ganze Wält bisse sich dra d’Zäh us.

Gliichziitig lauft e ständigi Jagd nach immer no grössere Primzahle. Das sind Zahle mit Millione vo Ziffere, wo mer nöd mal me chan usdrucke, ohni dass mer en ganze Wald abholze müesst für s’Papier. Werum macht mer das? Einersits us sportlichem Ehrgiiz, andrersits will s’Finde vo dene Zahle au d’Hardware vo Computer teschtet. Wänn en Computer tagelang fählerfrei chan rechne, um e Primzahl z’prüefe, dänn lauft er stabil. So bliibed Primzahle nöd nur e theoretischs Konstrukt, sondern e lebendigs Forschigsfeld, wo üsi Technologie und üsen Verstand immer wider a d’Gränze bringt.